Differentieren

Differentiëren
(alleen voor vwo-leerlingen)

Differentiëren wordt in de vwo-stof van het vak economie nog wel eens gebruikt. De uitleg hiervoor is in drie onderdelen verdeeld:
1. Een algemene inleiding over differentiëren
uitleg over wat je nu eigenlijk doet met differentiëren en uitleg van de standaard regel (uit de wiskunde)

2. Een toepassing van het differentiëren: MO en MK

3. Een andere toepassing van differentiëren: de puntelasticiteit.

1. Algemene inleiding differentiëren
Bij het vak economie willen we vaak weten in hoeverre een bepaald gegeven verandert, wanneer een andere factor verandert met één eenheid. Dus bijvoorbeeld hoeveel stijgt de totale opbrengst van een producent als er één product meer geproduceerd wordt. Of grafisch weergegeven:

Er is bij het differentiëren één verschil: je kijkt niet naar een stukje van de lijn, maar je bekijkt het in één punt (met behulp van een raaklijn). Zodat:

Om te kunnen differentiëren (eerste afgeleide bepalen) bij het vak economie, heb je alleen de meest eenvoudige regel uit de wiskunde nodig. Namelijk:

Formule:

In de originele vergelijking staat de factor:	De eerste afgeleide van die factor is dan:
(y = ) a·xⁿ	n·a·x^n-1

Met de omschrijving wordt aangegeven dat vergelijking "y" moet worden gedifferentieerd naar de variabele "x". Dit lijkt in een eenvoudige vergelijking overbodig, maar zodra een vergelijking meerdere onbekenden heeft absoluut noodzakelijk.

Dus:

Als er in de vergelijking staat
y =

via

wordt de eerste afgeleide

5x³

3x²

15x

3·5x^3-1

2·3x^2-1

1·15x^1-1

^{y blijft contant (15)}

15x²

Bij het vak economie zal er echter in de meeste gevallen geen "x" in de vergelijking staan, maar een "q".

Bijvoorbeeld

TO = -4q² + 10q

De eerste afgeleide (= de marginale opbrengst) wordt dan:

MO= -8q + 10

2. Een toepassing: MO en MK
2a. Marginale opbrengst
= de extra (totale) opbrengst als de productie met één eenheid wordt uitgebreid.
Om de MO-functie te herleiden moeten we dus de eerste afgeleide hebben van de TO-functie.

Stel een monopolist heeft te maken met de volgende collectieve vraagfunctie: Q_v = -5P + 20
De collectieve vraaglijn voor deze producent kan ook worden herschreven als een prijs-afzetfunctie: Q_v = -5P + 20 5P = -Qv + 20
De totale omzet (opbrengst) kunnen we dan eenvoudig berekenen door: TO = P · Q
De extra opbrengst voor één extra product (MO) kunnen we bepalen door de eerste afgeleide te nemen van de zojuist gevonden TO-functie: Wanneer we deze lijn in de grafiek tekenen, valt op dat de MO-lijn de hoeveelheid-as precies halverwege snijdt t.o.v. de Q_v-lijn. Logisch want de top van de parabool TO zit halverwege de snijpunten met de horizontale as.
Voor de top geldt: de extra opbrengst , maar is positief (de TO-stijgt, maar steeds minder snel). Na de top geldt: de TO-parabool begint te dalen (en steeds sneller). Dat wil zeggen dat de extra opbrengst voor één extra product negatief wordt (en steeds meer negatief wordt). Onthouden: de totale opbrengst is maximaal (TO-top) bij díe productieomvang waar geldt dat MO=0

2b. Marginale kosten
= de extra kosten als de productie met één eenheid wordt uitgebreid.

Een kostenfunctie voor een bedrijf kan er bijvoorbeeld als volgt uitzien:
TK = TVK + TCK
TK = 20·q + 100.000

Extra kosten bij een uitbreiding van de productieomvang kunnen dus alleen ontstaat doordat er meer variabele kosten zijn!
De stijging van de totale kosten (TK) is gelijk aan de stijging van de variabele kosten (TVK).

Om de MK-functie te herleiden kunnen we dus de eerste afgeleide hebben van zowel de TK-functie als de TVK-functie.

Nu kunnen we aan de kostenzijde van ondernemingen twee soorten onderscheiden:
- er kan sprake zijn van proportioneel variabele kosten (zoals in het bovenstaande voorbeeld/grafiek)
dwz. elk product heeft dezelfde variabele kosten (in voorbeeld: 20)
- er kan spreke zijn van niet-proportioneel variabele kosten (in alle andere gevallen)
dwz. dat de gemiddelde variabele kosten niet steeds hetzelfde bedrag zijn.
Aangezien de variabele kosten de omvang van de marginale kosten bepalen verschillen de conclusies voor MK voor beide gevallen

proportioneel variabele kosten

niet-proportioneel variabele kosten

Elk product heeft dezelfde variabele kosten.
Dus bijvoorbeeld € 20,- per stuk.

TK = 20·q + 100.000

TVK = 20·q

De marginale kosten (MK) kunnen we nu bepalen door de eerste afgeleide van TK of TVK te nemen:

MK = 20
(we zien dat ook in de grafiek: elk product dat extra gemaakt wordt laat de TK met € 20,- (de GVK) stijgen)

In een grafiek ziet dat er als volgt uit:

Er zijn verschillende mogelijkheden, maar de meest gebruikelijke is een kostenfunctie die er bijvoorbeeld als volgt uit ziet:

In de grafiek kunnen we zien dat uitbreiding van de productieomvang met één eenheid, niet steeds dezelfde kostenstijging (MK) met zich mee brengt.

De marginale kosten (MK) kunnen we nu bepalen door de eerste afgeleide van TK of TVK te nemen:

In een grafiek ziet dat er als volgt uit:

2c. Maximale winst: ( MO = MK )
Indien een onderneming een productieomvang heeft waarbij geldt: MO = MK , maakt de onderneming maximale winst (of minimaal verlies).

Door de MO-functie en de MK-functie aan elkaar gelijk te stellen kunnen we deze productieomvang uitrekenen.
En vervolgens ook de daarbijbehorende TK, TO, en TW_(max)

Opgave 1
Van een onderneming - die opereert als monopolist - zijn de volgende gegevens bekend:

◘ Collectieve vraagfunctie: Q_v = -2p + 16
◘ Er is sprake van proportioneel variabele kosten van €2,50 per stuk
◘ De totale constante kosten bedragen €10.000,- per periode
◘ De productiecapaciteit van de onderneming bedraagt 15.000 stuks per periode

p = prijs in euro's
q = hoeveelheid in 1.000 stuks per periode

1 Bereken de maximale opbrengst voor de onderneming.
2 Bereken de maximale winst voor deze onderneming.

antwoord

3. Puntelasticiteit
Elasticiteiten worden gebruikt om het verband te analyseren tussen twee samenhangende factoren (bijvoorbeeld: in hoeverre een prijswijziging gevolgen heeft voor de vraag naar een product).

Bij 'normale' elasticiteiten maken we daarvoor gebruik van procentuele veranderingen.
Bijvoorbeeld wanneer de prijs van een goed wordt verlaagd van 6 naar 4 euro (punt A naar punt B).

We spreken in zo'n geval van een segmentelasticiteit, omdat de verandering een stukje (segment) van de vraaglijn betreft.

We kunnen hiervoor de volgende formule gebruiken:

Er hoeft echter niet altijd sprake te zijn van een prijsverandering. Het kan ook zo zijn dat we de prijselasticiteit van dit product willen weten bij een prijs van 6 euro.
In zo'n geval spreken we van een puntelasticiteit; het gaat immers om één punt op de vraaglijn.

De formule voor de puntelasticiteit kunnen we herleiden vanuit de segmentelasticiteit (maar je hoeft dit niet zelf te kunnen):

Stap
1	Formule segmentelasticiteit:
2	We kunnen dit herschrijven (delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgedraaide van die breuk):
3	Herschikking levert dan op: Het gaat hier nog steeds om een segmentelasticiteit (er is nog steeds sprake van een échte verandering (Δ)).
4	Wanneer we deze formule herschrijven voor de 'verandering' in een punt (differentiëren), krijgen we de formule voor een puntelasticiteit: Deze formule bestaat uit twee delen: (E = a · b) a. de eerste afgeleide van de vraagfunctie (differentiëren naar p) b. een breuk die bestaat uit de coördinaten van het betreffende punt.

Opgave 2
Van een markt van volkomen concurrentie zijn de volgende gegevens bekend:

◘ Collectieve vraagfunctie: Q_v = -2p + 16
◘ Collectieve aanbodfunctie: Q_a = 2p - 4

p = prijs in euro's
q = hoeveelheid in 100.000 stuks

1 Bereken de evenwichtsprijs en de evenwichtshoeveelheid.
2 Bereken de prijselasticiteit van de vraag
3 Bereken de prijselasticiteit van het aanbod.

antwoord

Als je bovenstaande opgave gemaakt hebt, heb je al gezien dat de formule voor de puntelasticiteit vrij eenvoudig ook voor andere elasticiteiten is te herleiden.
Ik geef hieronder een overzicht.

Elasticiteit	Formule	Voorbeeld
Prijselasticiteit van de vraag		Q_v = -2p + 16 Bereken de prijselasticiteit bij een prijs van €5,-. Dan geldt: q_v = 6 Dus:
Prijselasticiteit van het aanbod		Q_a = 3p - 12 Bereken de prijselasticiteit bij een prijs van €5,-. Dan geldt: q_a = 3 Dus:
Kruiselingse elasticiteit		Q_v1= -2p₁ + 0,5p₂ + 20 Berekende de kruiselingse elasticiteit van de vraag naar goed 1 als gegeven is dat p₁ = €2,- en p₂ = €5,- Dan geldt: q_v1 = 18,5 Dus:
Inkomenselasticiteit		Q_v = -20p + 0,004Y + 0,5p₂ + 80 Bereken de inkomenselasticiteit van de vraag als gegeven is dat: p = €2,- ; p₂= €4,- ; Y = €24.000,- Dan geldt: q_v = 138 Dus:
De formule kent de volgende logica: Deze formule bestaat uit twee delen: (E = a · b) a. de eerste afgeleide van de functie (die het gevolg beschrijft) differentiëren naar de variabele die verandert (oorzaak) b. een breuk die bestaat uit de coördinaten van het betreffende punt (wellicht een ezelsbruggetje: 'omgekeerde van de differentieernotatie').

De conclusies die verbonden kunnen worden aan de waarde van de puntelasticiteit zijn (natuurlijk) dezelfde als bij een segmentelasticiteit!